Boundary and Initial Value Problems | Lecture 60

課程介紹兩種 PDEs:

• Boundary problem 可以一次解出所有的 interior points. 使用 Laplace equation 當例子. (從 Lecture 62 開始到 68)
• Initial value problem 需要根據 $t$ 順序地解下去, 上圖的 initial value problem 左右兩邊是 boundary points. 使用 Diffusion equation 當例子. (從 Lecture 69 到 73)

或看課本的下圖也很清楚

💡 注意到課程使用的 boundary problem 的 PDE 範例都用 Laplace equation 來當例子 即一個 scalar field $\Phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ 滿足:

$$ \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\Phi=0 $$

為什麼研究這樣的式子重要呢?

因為一個 scalar field 如果滿足 Laplace equation, 其 gradient 形成的 vector field 自動成為 incompressible and irrotational 的 vector field. (水就是 incompressible)

參考之前的筆記: (10/23) Laplace's Equation and Potential Flow (和複數函數的微分)

至於有哪些 scalar field 滿足 Laplace equation 呢? 重力, 靜電, 熱傳導, … 詳細請參考: (13/23) Laplace's Equation and Poisson's Equation

Central Difference Approximation | Lecture 61

我們透過這三點 $\{y(x-h),y(h),y(x+h)\}$ 的值可以讓我們得到一、二次微分的估計

且該估計的 order 為 $O(h^2)$: