https://www.youtube.com/watch?v=nmvs0vrBT18&list=PLMrJAkhIeNNQromC4WswpU1krLOq5Ro6S&index=13

Laplace equation:

$$ \nabla^2\varphi=0 $$

其中 $\varphi$ 為一個 scalar field

從第10堂課我們知道滿足 Laplace equation 的話, 其 gradient field $\nabla\varphi$ 為 potential flow (irrotational and incompressible)

有哪些物理系統滿足 Laplace equation?

$\mathbb{I}$. Gravitation (away from mass)

(Scalar) Potential 為:

$$ V=-\frac{mMG}{r} $$

其中 $m$ 為物體質量, $M$ 為地球質量, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 為物體距離地球質量中心的距離

則其 vector field (force field):

$$ \vec{F}=-\nabla V $$

為 potential flow (irrotational and incompressible). 可以透過證明滿足 Laplace equation $\nabla^2V=0$.

$\mathbb{II}$. Electrostatic potential (Coulomb's law)

跟 Gravitation 非常類似

$\mathbb{III}$. Heat conduction (steady-state)

Heat equation 有如下的 PDE 關係: (之後課程會推導)