Elementary Matrix

強烈建議讀懂 “線代啟示錄 基本矩陣” 就能有更根本的理解

這裏簡單筆記結論, 更多結果參考其文章的內容.

基本矩陣 elementary matrix 定義為

$$ I_n+\mathbf{u}\mathbf{v}^T $$

其中 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 為 $n$ 維的 column vectors 且 $\mathbf{v}^T\mathbf{u}\neq-1$.

• “基本矩陣的轉置也是基本矩陣”: 觀察 $(I_n+\mathbf{u}\mathbf{v}^T)^T=I_n+\mathbf{v}\mathbf{u}^T$, 且 $\mathbf{u}^T\mathbf{v}\neq-1$.

• “基本矩陣皆可逆” 且具有以下形式:

  $$ (I_n+\mathbf{u}\mathbf{v}^T)^{-1} = I_n+k\mathbf{u}\mathbf{v}^T $$

  其中 $k=-(1+\mathbf{v}^T\mathbf{u})^{-1}$.

• “基本矩陣的行列式” 為: (參考 線代啟示錄 基本矩陣)

$$ \det(I+\mathbf{u}\mathbf{v}^T)=1+\mathbf{v}^T\mathbf{u} $$

• 基本列運算 (elementary row operation) 為一矩陣 $E$ 乘上 $A$, 結果為 $EA$ 表示對 $A$ 進行交換、伸縮、取代：

  1. 交換: 列 $i$ 與列 $j$ 互換位置, 例如 $E_1A$ 的結果為 $A$ 的列 $i$ 與列 $j$ 互換 (用這個角度思考就知道 $E$ 為何長這樣):

     $$ E_1=\left[\begin{array}{ccc} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \end{array}\right] $$

     通式為: $E_1=I_n+(\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j)(\mathbf{e}_j-\mathbf{e}_i)^T$.

  2. 伸縮: 列 $i$ 通乘一個非零常數 $c$, 舉例:

     $$ E_2=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&c&0\\0&0&1 \end{array}\right] $$

     通式為: $E_2=I_n+(c-1)\mathbf{e}_i\mathbf{e}_i^T$.

  3. 取代: 列 $j$ 通乘一個非零常數 $c$ 的結果加進列 $i,i\neq j$.

     $$ E_3=\left[\begin{array}{ccc} 1&0&0\\c&1&0\\0&0&1 \end{array}\right] $$

     通式為: $E_3=I_n+c\mathbf{e}_i\mathbf{e}_j^T$.

上面三種基本列運算都可以歸納為 $I+\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 的長相

利用上面提到的基本矩陣的行列式和可逆矩陣之結果, 可得到基本列運算的逆矩陣

用直覺思考逆矩陣可能更快: 1. 交換的逆矩陣仍然為自己. 2. 伸縮的逆矩陣為伸縮 $1/c$ 的矩陣. 3. 取代的逆矩陣為”負”的取代矩陣

因此當我們對一個方陣 $A$ 做一系列的基本列運算 (下面課程介紹的 rref) 得到 $I$, 相當於:

$$ E_k\cdots E_2 E_1 A=I $$

則相當於 $A^{-1}=E_k\cdots E_2 E_1$.

Gaussian Elimination