隨意記錄一些自己原本比較不熟練的東西就好

練習題 1: 矩陣乘對角矩陣

Let $A,D$ be matrices below:

$$ A= \left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&3\\1&3&4\end{array}\right), \quad D= \left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}\right) $$

compute $AD$ and $DA$. (💡雖然可以直接相乘, 但要用矩陣相乘的另外一種重要思考方式計算)

這題的結果也要記住變成反射思考, 會比較方便. 對角矩陣在右邊的話, i.e. $AD$, 左邊的矩陣是以 column 乘上對角項. 對角矩陣在左邊的話, i.e. $DA$, 右邊的矩陣是以 row 乘上對角項.

• [Sol]:

  類似的, 一個矩陣 $A$ 左邊乘一個 row vector $x$ 可以解釋為 $A$ 的 row vector 之 linear combination, 係數為 $x$ 的 elements.

練習題 2: 上三角矩陣相乘仍為上三角

• Sol:

練習題 3: 任何方陣都可寫成 symmetric 和 skew-symmetric 矩陣的和

Sol:

$$ A=\frac{A-A^T}{2}+\frac{A+A^T}{2} $$

練習 4: Frobenius norm of A 為 Trace 的 (A^T)A

Sol:

逆矩陣

如果 $A$ 可逆, 則

$$ A^{-1}=\frac{\text{adj}(A)}{\det(A)} $$