除了 MATLAB, PyTorch 也有 ODE solver package: https://github.com/rtqichen/torchdiffeq
Numerical Methods for Ordinary Differential Equations
假設我們從 $f(a)$ 出發, 想要估計 $f(b)$ 的值, 每次就前進一小步來估計, e.g. $f(a+\Delta t)$, 這樣一步步計算值到 $f(b)$.
但 $\Delta t$ 要設定多少才夠? 我們知道愈小則計算愈精確 (雖然只能前進更小的 $\Delta t$)
Adaptive 方法就是藉由 user 設定的 tolerance $\varepsilon$ 來自動決定這次 $\Delta t$ 要設定多少才能滿足 error 小於 $\varepsilon$.
Dormand-Prince method 對比 RK 5th and 4th orders 的差異來決定. 看上圖的課程.
RK nth oder 具有 $O\left((\Delta t)^{n+1}\right)$ 的 error term
計算 $\Delta\tau$:
$$ \Delta\tau=s*\Delta t\left(\frac{\varepsilon}{e}\right)^{1/5} $$
其中 $s$ 是 safety factor 通常為 $0.9$, 讓 $\Delta\tau$ 算出來更小一點 (想讓下一次被拒絕的情況更不容易發生).
