本週學兩個問題的做法
對 $f(x)$ 在 $h/2$ 處 Taylor expansion, 接著 change of variable 定義 $y=x-h/2$ 即可.
可以發現
$$ I_h=\int_0^h f(x)dx=hf(h/2)+O(h^3) $$
等於直接找高是 midpoint 的 rectangle 面積來表示. 很直覺且有理論上的基礎, error 是 $O(h^3)$.
另外如果 $f(x)=a+bx+cx^2$, 是 quadratic function, 則由上面推導知道 $f''''(h/2)$ 項 (含) 以上為 $0$, 所以只剩
$$ I_h=hf(h/2)+\frac{h^3}{24}f''(h/2) $$
這是 exactly solution, not approximation.
$f(h)$ 不像 $f(0)$ 正負號交替, $f(h)$ 的 Taylor series 都是正. 所以可以相加消去有負號的 terms.
然後由 Midpoint rule 我們知道 $hf(h/2)=I_h-((h^3)/24)f''(h/2)-...$
代進去即可求出 $I_h$ 的 Trapezoidal rule 的解, 同樣 error 也是 $O(h^3)$.