nothing to take note
$r=\sqrt{x^2+y^2},\quad x=r\sin\theta,\quad y=r\cos\theta$
Unit vector $\hat r$ 定義為 $\vec r$ 方向(變大方向)的單位向量 (vector $\vec{i}$ 逆時針旋轉 $\theta$ 的結果)
Unit vector $\hat \theta$ 定義為 $\theta$ 方向(變大方向)的單位向量
$$ \hat r=\cos\theta \vec i+\sin\theta\vec j, \quad \hat \theta=-\sin\theta \vec i+\cos\theta\vec j \\ \vec{i}=\cos\theta\hat{r}-\sin\theta\hat\theta,\quad \vec{j}=\sin\theta\hat{r}+\cos\theta\hat\theta $$
注意到 $\hat r,\hat \theta$ 的方向在每個位置 $x,y$ 都不一樣.
且 polar coordinate 的 unit vectors $\hat r,\hat \theta$ 只跟 $\theta$ 有關, 跟 $r$ 無關.
即 $\hat r(\theta),\hat\theta(\theta)$, 則:
$$ \frac{d\hat r}{dr}=\frac{d\hat\theta}{dr}=0,\quad\frac{d\hat r}{d\theta}=\hat\theta ,\quad \frac{d\hat \theta}{d\theta}=-\hat r $$
