If two norms $\|\cdot\|_a$ and $\|\cdot\|_b$ are equivalent only on a unit sphere, i.e. $\exists\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ s.t. $\alpha\|x\|_a\leq\|x\|_b\leq\beta\|x\|_a$, $\forall x\in D_a(0,1)$.
Then it satisfies on $\mathbb{R}^n.$
Every norm $\|\cdot\|_a$ on $\mathbb{R}^n$ is a continuous function on $x$ with respect to 2-norm $\|\cdot\|_2$
即欲證 given $\varepsilon>0$ 是否存在 $\delta>0$ s.t. if $\|x-y\|_2<\delta$ then $\|x-y\|_a<\varepsilon$?
All p-norms are equivalent on $\mathbb{R}^n$
如果 metric space 為 infinite dimension 時, a unit sphere w.r.t. $\|\cdot\|_2$ 就不會是 compact set.
觀察 sequence 如下:
$((1,0,0,0,...), (0,1,0,0,...), (0,0,1,0,...), (0,0,0,1,...),...)$
則此 sequence 不存在一個 subsequence 收斂在 unit sphere 裡.