[Thm]: Limit Superior 性質

設 $(s_n){n=1}^\infty$ 為一有界數列, 因此 $w=\overline{\lim}{n\rightarrow\infty}s_n$ 存在, 則

1. 對任一 $b>w$, $\exists N_b>0$ such that 當 $k\geq N_b$ 則 $s_k<b$ ($b$ 夠像 upper bound 了)
2. 對任一 $\varepsilon>0$, 存在無限多項 $s_{n_k}$ such that $s_{n_k}>w-\varepsilon$, 即 $w$ 是 $(s_n)_{n=1}^\infty$ 的一個 cluster point, 且是最大的 cluster point

• [pf]:

[Thm]: Limit Inferior 性質

設 $(s_n){n=1}^\infty$ 為一有界數列, 因此 $w=\underline{\lim}{n\rightarrow\infty}s_n$ 存在, 則

1. 對任一 $b<w$, $\exists N_b>0$ such that 當 $k\geq N_b$ 則 $s_k>b$ ($b$ 夠像 lower bound 了)
2. 對任一 $\varepsilon>0$, 存在無限多項 $s_{n_k}$ such that $s_{n_k}<w+\varepsilon$, 即 $w$ 是 $(s_n)_{n=1}^\infty$ 的一個 cluster point, 且是最小的 cluster point