予一數列 $(s_n){n=1}^\infty$, define $M_k=\sup(s_k,s{k+1},...)$. Define limit superior:
$\overline{\lim}{n\rightarrow\infty}s_n = \limsup{n\rightarrow\infty}s_n = \lim_{k\rightarrow\infty}M_k = \lim_{k\rightarrow\infty}\{\sup(s_k,s_{k+1},...)\}$, 則
If $(s_n){n=1}^\infty$ 無上界, 則 $M_k=+\infty, \forall k$. $\limsup{n\rightarrow\infty}s_n = +\infty$
If $(s_n){n=1}^\infty$ 有上界, 則 $M_k \geq M{k+1} \geq M_{k+2} \geq ...$
<aside> 💡 有上界就表示 $M_{k+1}<\infty$ 存在. $M_{k+1}=\sup(s_{k+1},s_{k+2},...)$. 而 $\sup$ 的定義是最小上界, 所以 $M_k=\sup(s_k,M_{k+1})$ 一定 $\geq M_{k+1}$.
</aside>
當 $M_k$ 無下界時, $\limsup_{n\rightarrow\infty}s_n=-\infty$
<aside> 💡 $(s_k)k=(0, -1, -2, ...)$. 則 $\limsup{n\rightarrow\infty}s_n=-\infty$
</aside>
當 $M_k$ 有下界時 $\limsup_{n\rightarrow\infty}s_n$ 為有限值. ($\because (M_k)_k$ 是 bounded decreasing sequence)