Assume $d_1$ and $d_2$ are two equivalent metircs on $X$, and $X\neq \phi$. Then
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}d_1(x_n,y_0)=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}d_2(x_n,y_0)=0 $$
要證明給定 $\varepsilon$ 在 $d_2$ 視角下能不能有個 $N$ 使得 $n\geq N$ 都能滿足
由於 equivalent metirc 的關係, 我們能在 $d_1$ 視角下找到這個 $N$ (根據 $\varepsilon$ 存在 $\delta$, 而又因為 $d_1$ 收斂所以可以存在一個 $N$), 一旦 $n\geq N$, $d_1$ 視角會小於 $\delta$, 然後滿足 $d_1$ 視角會小於 $\delta$ 也會滿足 $d_2$ 視角會小於 $\varepsilon$, 故得證