設 $(M,d)$ 是一個 “complete” metric space, $T:M\rightarrow M$ 是一個 contraction mapping.
即 $\exists 0<\alpha<1$ s.t. $d(T(x),T(y))\leq \alpha d(x,y),\forall x,y\in M$.
則 $T$ 在 $M$ 上有, 且只有一個 fixed point.
藉由上述證明, 我們也得出找 fixed point 的演算法:
任取 $x_0\in M$, 令 $x_1=T(x_0),x_2=T(x_1),\cdots,x_n=T(x_{n-1}),\cdots$
最終會收斂到 fixed point $x_\ast=f(x_\ast)$.