[Def]: Cauchy Sequence 歌西列

設 $(M,d)$ 為一 metric space, 點列 $(x_n)_{n=1}^\infty \subseteq M$

若對任何 $\varepsilon>0$ 皆存在 $N_{\varepsilon}>0$, s.t. 當 $n, m > N_{\varepsilon}$ 時 $d(x_n,x_m)<\varepsilon$

則稱 $(x_n)_{n=1}^\infty$ 為 Cauchy sequence 柯西列

補充自 https://github.com/MathFoundationRL/Book-Mathematical-Foundation-of-Reinforcement-Learning/blob/main/3 - Chapter 3 Optimal State Values and Bellman Optimality Equation.pdf p42. Box 3.1 裡

注意到 $d(x_n,x_m)<\varepsilon$ 這個條件是 $\forall n,m>N_\varepsilon$, 重點是那個 $\forall$.

如果只是相鄰的兩個點收斂到 $0$, i.e. $d(x_{n+1},x_n)\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0$ 是不夠的.

舉例來說對序列 $x_n=\sqrt{n}$ 來說

$$ d(x_{n+1},x_n)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\ \Longrightarrow d(x_{n+1},x_n)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1 \\ \Longrightarrow d(x_{n+1},x_n) = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0 $$

但 $\sqrt{n}$ 明顯發散, 所以不是 Cauchy sequence.

Cauchy sequence 之所以重要是因為他保證了收斂性質

[Def]: A Sequence is not a Cauchy sequence

設 $(M,d)$ 為一 metric space, 點列 $(x_n)_{n=1}^\infty \subseteq M$

$\exists\varepsilon>0$ such that $\forall n \in \N$, there exist $i,j>n$ such that $d(x_i,x_j)>\varepsilon$