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Fourier series:
$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L} $$
$a_n,b_n$ 的找法只要把 $f(x)$ 與 basis $\cos((n\pi x)/L),\sin((n\pi x)/L)$ 內積就能得到 (因為這些是 orthonormal basis):
$$ a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx $$
Fourier transform 應該已經很熟了, 剩下的自行閱讀即可
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回顧 Fourier series 和 $a_n,b_n$ 的找法
$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L} \\ a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx \\ b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx $$
如果此時 $f(-x)=f(x)$ 是 even function 的話, 如果搭配上 $\sin$ function 則 $f(-x)\sin(-x)=-f(x)\sin x$, 所以 $x$ 與 $-x$ 相加的 terms 互相抵消, 那麼 $b_n$ 那項就會是 $0$.
所以只剩 $a_n$ 項, 即 $f(x)$ 是 Fourier cosine series: