https://www.youtube.com/watch?v=TORt20_HjMY&list=PLMrJAkhIeNNQromC4WswpU1krLOq5Ro6S&index=6
Gauss's Divergence Theorem
$$ \begin{align} \iiint_V\nabla\cdot\vec{F}dV=\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS \end{align} $$
說明在一個 continuous 的 vector field 和有一個封閉表面的 surface 中, 通量 (flux) 用表面積分等價於 divergence 用體積分!
[式 (1) 的 RHS]
為通量的定義, 就是 vector field $\vec{F}$ 在表面 $S$ 的淨流出量
計算方式為把對每一個非常小的表面 $dS$ 的通量全部累加起來
而每一個小的表面通量為 $\vec{F}\cdot\vec{n}$ (要內積是因為要去掉垂直於法向量的通量部分, 因為此部分的通量只會留在表面不會有流入或流出), 乘上表面積後就是 $\vec{F}\cdot\vec{n}dS$, 所以累加起來為
$$ \iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS $$
Wiki 的通量裡描述的很清楚:
為了計算通過表面S的矢量場F（紅色箭頭）的通量，將表面分成小塊dS。通過每個面片的通量等於場的法線（垂直）分量，即F(x)與點x處的單位法向量n(x)（藍色箭頭）乘以面積dS的內積。 表面上每個小塊的F • n dS之和是通過表面的通量。
[式 (1) 的 LHS]
把體積 $V$ 看成無數個無限小的 cube 總和, 每一個 cube 我們都可以知道它的淨流出量, 就是 $\nabla\cdot\vec{F}$ 乘上體積 $dV$, 所以是 $\nabla\cdot\vec{F}dV$, 然後累加起來就是
$$ \iiint_V\nabla\cdot\vec{F}dV $$
divergence $\nabla\cdot\vec{F}$ 物理意義就是單位體積的淨流出量