https://www.youtube.com/watch?v=QtiCZQIwBT8&list=PLMrJAkhIeNNQromC4WswpU1krLOq5Ro6S&index=5

Cross Product

先對外積 [YouTube] 作筆記

回憶到內積的大小為 $ab\cos(\theta)$, 而 cross product 大小為 $ab\sin(\theta)$

內積在量測平行程度, 而 cross product 在量測垂直程度

$\vec{i}\times\vec{j}$ 我們先算大小為 $11\sin(90^0)=1$

方向為 x-axis 的單位向量 $\vec{i}$ 根據右手法則旋轉至 y-axis 的單位向量 $\vec{j}$, 會發現最終的方向就是 z-axis 的單位向量 $\vec{k}$ 的方向

所以 $\vec{i}\times\vec{j}=1*\vec{k}$

記法可以用 $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ 採用往右循環的記法, 例如 $\vec{j}\times\vec{k}$ 由於是 $\vec{j}$ 和 $\vec{k}$, 往右循環回到 $\vec{i}$ 所以答案就是 $\vec{i}$. 如果是左循環的話會變 $-\vec{i}$, i.e. $\vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}$.

$\vec{a}$ 用分量表示為 $a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}$

$\vec{b}$ 用分量表示為 $b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$

$\vec{a}\times\vec{b}=(a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k})\times(b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k})$

使用 cross product 是 linear operator 特性展開會變成:

$(a_2b_3-a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\vec{k}$

一般來說我們不這樣算效率太低, 直接使用另一個定義 determinant 來計算

$$ \vec{a}\times\vec{b}=\left| \begin{array}{ccc} \vec{i} && \vec{j} && \vec{k} \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ \end{array} \right| $$

如果 cross product 的定義用 determinant, 那算完的結果仍然符合大小是 $ab\sin(\theta)$ 嗎? 答案一定是, 但這邊應該也能這樣證明出來