https://www.youtube.com/watch?v=Jt5R-Tm8cV8&list=PLMrJAkhIeNNQromC4WswpU1krLOq5Ro6S

先看清楚易懂的 vector field 介紹: https://www.youtube.com/watch?v=0QTDisIl9bo

基本上 vector field $\vec{F}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$, 以 $\mathbb{R}^3$ (3維空間) 舉例:

$$ \vec{F}(x,y,z)=M(x,y,z)\vec{i}+N(x,y,z)\vec{j}+P(x,y,z)\vec{k} $$

其中 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 分別是 $x,y,z$ 軸的單位向量

例如天氣預報的氣壓圖, 颱風風速圖, 熱能圖, 電力圖, 力場磁場圖…

Conservation laws 如 mass, momentum, energy conservation 都可以用一個 PDE 來表示

而 (以三維空間+時間舉例) vector field $\vec{F}:\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, $\vec{x}:=(x,y,z)$

$$ \vec{F}(\vec{x},t)=\left[ \begin{array}{c} f_1(\vec{x},t) \\ f_2(\vec{x},t) \\ f_3(\vec{x},t) \end{array} \right] $$

$\vec{F}$ 是以下這種形式的 PDE 的解

$$ \begin{align} \frac{\partial \vec{F}}{\partial t} = N(\vec{F},t) \end{align} $$

例如以質量守恆來說, vector field 必須要以滿足質量守恆的條件(上式(1))找出來 之後課程會寫出質量守恆的式 (1) 長相

另外如果有了這樣的 vector field $\vec{F}$, 我們可以得到一個 dynamic system:

$$ \begin{align} \frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{F}(\vec{x},t) \end{align} $$

給定 initial condition $\vec{x}_0$, 我們可以上式積分得到時間 $t$ 的位置 $\vec{x}_t$ (用 numerical method 例如 Eular method)

滿足質量守恆的條件找出來的 vector field 可以用來 tracking 一個 particle 的路徑